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Get Algebraische und zahlentheoretische Grundlagen für die PDF

By Kurt-Ulrich Witt

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.

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9 F¨ur jede nat¨urliche Zahl a ∈ N mit a ≥ 2 gilt: a besitzt mindestens einen Primteiler, und der kleinste nicht triviale Teiler von a ist ein Primteiler. Die Menge der ganzen Zahlen 23 Beweis Wir zeigen: Der kleinste Teiler p ≥ 2 von a ist immer eine Primzahl. Dazu nehmen wir an, dass der kleinste Teiler p ≥ 2 von a keine Primzahl ist. Dann besitzt p einen nicht trivialen Teiler b. Es gilt: b|p und p|a und damit b|a. b ist also Teiler von a und kleiner als p, was ein Widerspruch zu der Annahme ist, dass p kleinster Teiler von a ist, womit unsere Annahme widerlegt und unsere Behauptung bewiesen ist.

B. a1 U (von den anderen Nebenklassen ai U , 2 ≤ i ≤ k − 1, k¨onnten welche verschieden von a1 U und welche (sogar alle) k¨onnten gleich a1 U sein). Da es somit aber mindestens zwei Nebenklassen gibt, ist der Index gr¨oßer gleich 2: [G : U ] ≥ 2. Mit (5) folgt dann |G| = [G : U ] · |U | ≥ 2 · |U | womit die Behauptung gezeigt ist. 19) Die Aussagen (1) – (3) sind Hilfsaussagen, mit denen der Satz bewiesen werden kann. Die Aussagen (6) und (7) betrachten Spezialf¨alle. Der Satz von Lagrange ist von immanenter Bedeutung in der Gruppentheorie und in ihren Anwendungen.

Mengen vereinigen und schneiden k¨onnen oder die Differenz von zwei Mengen bilden k¨onnen, um Benutzeranfragen beantworten zu k¨onnen. Abildung 9 zeigt als einfache Beispiele die Tafeln f¨ur die Vereinigung und den Durchschnitt der Teilmengen der Menge M = {a, b}. Dabei lassen wir bei der Vereinigung die Menge M = {a, b} und beim Durchschnitt die leere Menge weg, weil die Vereinigung mit M immer M bzw. -U. 1007/978-3-658-04075-8_2, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014 32 Gruppen + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 · 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 Abb.

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