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By Forster O.

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Da in dem Intervall Ik+1 unendlich viele Glieder der Folge (an ) liegen, gibt es ein nk+1 > nk mit ank+1 ∈ Ik+1 . c) Wir beweisen nun, dass die Teilfolge (ank ) konvergiert, indem wir zeigen, dass sie eine Cauchy-Folge ist. Sei ε > 0 vorgegeben und N so groß gew¨ahlt, dass diam(IN ) < ε. Dann gilt f¨ur alle k, j N ank ∈ Ik ⊂ IN und an j ∈ I j ⊂ IN . d. Definition. Eine Zahl a heißt H¨aufungspunkt einer Folge (an )n∈N , wenn es eine Teilfolge von (an ) gibt, die gegen a konvergiert. Mit dieser Definition kann man den Inhalt des Satzes von Bolzano-Weierstraß auch so ausdr¨ucken: Jede beschr¨ankte Folge reeller Zahlen besitzt mindestens einen H¨aufungspunkt.

Fallende) Folge (an )n∈N , die nicht konvergiert, divergiert bestimmt gegen +∞ (bzw. −∞). 11. Man beweise: Aus Satz 7 (jede beschr¨ankte monotone Folge reeller Zahlen konvergiert) l¨asst sich das Archimedische Axiom und das Intervallschachtelungs-Prinzip ableiten (ohne das Vollst¨andigkeits-Axiom zu benutzen).

1 Intervallschachtelung Satz 2. Das Vollst¨andigkeits-Axiom impliziert das IntervallschachtelungsPrinzip. Beweis. Seien In = [an , bn ], n ∈ N, die ineinander geschachtelten Intervalle. Wir zeigen zun¨achst, dass die Folge (an ) der linken Endpunkte eine Cauchy-Folge darstellt. Beweis hierf¨ur. Da die L¨ange der Intervalle gegen null konvergiert, gibt es zu vorgegebenem ε > 0 ein N ∈ N, so dass diam(In ) < ε f¨ur alle n Sind n, m folgt N. d. Nach dem Vollst¨andigkeits-Axiom konvergiert die Folge (an ) gegen einen Punkt x ∈ R.

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