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LaNll+ lund fur n > N 1 : I a" , = I aN 1 + (a" - aN l) I 0;;;; I aN 1 I + I a" - aN 1 I < I aN 1 I + I 0;;;; I al I + ... + I aN 1 I + 1. Also gilt mit K = I al I + I a2 I + ... + I aN 1 I + I "inEN. F. ist. 7 beschriinkt. 6 einen Grenzwert. v=O v! F. F. , er auch Grenzwert der urspriinglich gegebenen Folge ist. F. hat einen Grenzwert. F. 7. Sei ~n = {am 1m;;;;' n} f1ir beliebige n E N. Damit gilt ~n+l C ~n "i n E N und folglich ~n C ~o = {am I mEN} "i n E N, d. h. wegen der Beschranktheit von ~o sind alle Mengen ~n beschrankt.

Sl, woraus sich zwingend sl =S2 ergibt. Folglich kann es keine zwei verschiedenen Infima derselben Menge geben. Genauso kann man natiirlich auch die Eindeutigkeit des Supremums einer Menge nachweisen. Damit ist aber die Existenz des Infimums bzw. des Supremums einer nach unten bzw. nach oben beschriinkten Menge immer noch nicht bewiesen. Wie wir schon gesehen haben, kann sehr wohl der Fall auftreten, daB eine nach oben beschriinkte Menge kein groBtes Element (Maximum) besitzt. Die Menge {x Ix E R, x < I} ist ein anderes einfaches Beispiel flir diese Situation: s = list zwar Supremum, gehort aber nicht zur Menge, die nur lahlen "kleiner als I" enthiilt.

Damit flihrt unsere Annahme a b zu einem Widerspruch und ist daher falsch. '* e e ( e ) a e ( e ) ) x b Fig. n n:>1 eine Nullfolge ist. \ die Teilfolgen I! der Nullfolge I.!.! ebenfalls Nullfolgen sind. Das ist {-21v ! 4 Konvelg'iert {lin }nEN gegen a, dann gilt jUr jede Teil/olge {link}kEN von {lin }nEN eben/aIls link ... a. B ewe is: Sei e > 0 belie big, aber fest gewiihlt. Aus der Voraussetzung lim lin =a folgt: n- oo 3 N(e): I lin - a I < e 'v' n > N(e). 2 nk+1 > nk 'v' kEN und folglich nk ~ k 'v' kEN, wie man sofort durch Induktion einsieht.

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